5 Carrier Transport Phenomena
5.1 Carrier Drift
\[
J_{drf}=\rho v_d
\]
\[
J_{p|drf}=(ep)v_{dp}
\]
- \(v_{dp}\)平均漂移速度
- \(J_{p|drf}\)空穴形成的漂移电流密度
\[
F=m^*_pa=eE
\]
- \(m_p^*\)空穴有效质量
弱电场情况下，平均速度与电场强度成正比
$$
v_{dp}=\mu_pE
$$
- \(\mu_p\) 空穴迁移率 hole mobility
联立得：
\[
J_{p|drf}=(ep)v_{dp}=ep\mu_pE
\]
同理：
\[
\begin{gather*}
J_{n|drf}=-(en)v_{dn}=en\mu_nE\\
\small{\text{where } v_{dn}=-\mu_nE}
\end{gather*}
\]
电子漂移电流的方向与外加电场方向相同。
the total drift current density 总漂流电流密度
\[
J_{drf}=e(\mu_nn+\mu_pp)E
\]
5.1.2 Mobility Effect
\[
\begin{gather*}
F=m_p^*\frac{dv}{dt}=eE\\
\Rightarrow v=\frac{eEt}{m_p^*}
\end{gather*}
\]
5.1(a) 无外加电场，(b)加上一个小电场以后，在E方向上有净漂移
碰撞或散射前粒子平均最大速度为：
\[
v_{d|peak}=\left(\frac{e\tau_{cp}}{m^*_p}\right)E
\]
- \(\tau_{cp}\)为碰撞之间的平均时间
则平均漂移速度
\[
v_d=\frac1{2}\left(\frac{e\tau_{cp}}{m^*_p} \right)E
\]
\[
\begin{gather*}
\text{空穴迁移率: }\mu_p=\frac{e\tau_{cp}}{m^*_p}\\
\text{电子迁移率: }\mu_n=\frac{e\tau_{cn}}{m^*_n}\\
\end{gather*}
\]
晶格散射/声子散射时的迁移率，热振动对固体理想周期性势场的破坏；感性理解：温度下降，晶格振动减弱，受到散射的概率降低，迁移率增加。 $$ \mu_L\propto T^{-3/2} $$
电离杂质散射；温度升高，载流子随机热运动速度增加；若杂质增加，电离杂质散射中心数量增加，载流子散射概率增大。
掺入的半导体杂质原子对半导体性质的改变
\[
\begin{gather*}
u_I\propto \frac{T^{3/2}}{N_I}\\
\small{N_I=N_d^++N_a^-}
\end{gather*}
\]
在微分时间\(dt\)中受到散射的总概率为
\[
\frac{dt}{\tau}=\frac{dt}{\tau_I}+\frac{dt}{\tau_L}
\]
\[
\frac1{\mu}=\frac1{\mu_I}+\frac1{\mu_L}
\]
5.1.3 Conductivity
\[
J_{drf}=e(\mu_nn+\mu_pp)E=\sigma E
\]
\[
\rho = \frac1{\sigma}=\frac1{e(\mu_nn+\mu_pp)}
\]
如一个p型半导体，\(N_a>>n_i\)，\(N_d=0\)
\[
\sigma=e(\mu_nn+\mu_pp)\approx e\mu_pp
\]
- Extrinsic 杂质全部电离，电子浓度保持稳定
- 迁移率是温度的函数，迁移率发生变化
- Intrinsic区域，\(n_i\)主导 迁移率变化
- Freeze-out，束缚态出现，电子浓度和电导率随温度下降而下降
5.1.4 Velocity Saturation
热运动平均能量计算
\[
\frac1{2}mv_{th}^2=\frac3{2}kT
\]
- 300K时，Si中热运动平均能量为\(\frac3{2}\cdot 0.0259eV=0.03885eV\)，运动速度约为\(10^7cm/s\)
- 电子漂移速度为\(10^5cm/s\)
- 外加电场不会显著改变电子能量
- 电场较弱时，漂移速度随电场强度线性变化，斜率即为迁移率
- 电场较强时，会达到饱和
5.2 Carrier Diffusion
高浓度->低浓度的扩散运动
5.2.1 Diffusion Current Density
\[
\begin{align*}
F_n&=\frac1{2}v_{th}[n(-l)-n(+l)] \\
&=\frac1{2}v_{th}\left[ \left(n(0)-l\frac{dn}{dx}\right)- \left(n(0)+l\frac{dn}{dx}\right) \right] \\
&=-v_{th}l\frac{dn}{dx}
\end{align*}
\]
the electron diffusion current density
\[
J=-eF_n=+ev_{th}l\frac{dn}{dx}
\]
\[
J_{nx|dif}=eD_n\frac{dn}{dx}
\]
- \(D_n\) the electron diffusion coefficient
\[
J_{px|dif}=-eD_p\frac{dp}{dx}
\]
5.2.2 Total Current Density
- electron drift
- electron diffusion currents
- hole drift
- hole diffusion currents
Total Currents
\[
\begin{gather*}
1D:\quad J=en\mu_nE_x+ep\mu_pE_x+eD_n\frac{dn}{dx}-eD_p\frac{dp}{dx} \\
3D:\quad J=en\mu_nE_x+ep\mu_pE_x+eD_n\nabla n-eD_p\nabla x \\
\end{gather*}
\]
5.3 Graded Impurity Distribution
5.3.1 Induced Electric Field
- n type semi
- 掺杂浓度随着x增加而减小，因此\(E_F-E_{Fi}\)越来越小
- x小处，电子浓度高；x大处电子浓度低；电子向x正方向移动；电流方向为x负方向；电势x小处高；电子受到x负方向的力，最后达到平衡状态。
- 最后平衡状态有一个x正方向的电场
\[
\begin{gather*}
\phi=+\frac1{e}(E_F-E_{Fi}) \\
E_x=-\frac{d\phi}{dx}=\frac1{e}\frac{dE_{Fi}}{dx}
\end{gather*}
\]
假设满足电中性条件：
\[
\begin{gather*}
n_0=n_i\exp\left[\frac{E_F-E_{Fi}}{kT} \right]\approx N_d(x) \\
\Rightarrow E_F-E_{Fi}=kT\ln(\frac{N_d(x)}{n_i})
\end{gather*}
\]
热平衡时，\(E_F\)恒定，对x求导：
\[
\begin{gather*}
-\frac{dE_{Fi}}{dx}=\frac{kT}{N_d(x)}\frac{dN_d(x)}{dx}\\
E_x=-\frac{kT}{e}\frac1{N_d(x)}\frac{dN_d(x)}{dx}
\end{gather*}
\]
5.3.2 The Einstein Relation
假设：
- 没有外加电场
- 半导体处于热平衡状态，则电子电流和空穴电流分别为0
\[
J_n=0 \text{且}J_p=0
\]
\[
\begin{gather*}
J_n=0=en\mu_nE_x+eD_n\frac{dn}{dx}\\
\Leftrightarrow J_n=0=e\mu_nN_d(x)E_x+eD_n\frac{dN_d(x)}{dx}\\
\because E_x=-\frac{kT}{e}\frac1{N_d(x)}\frac{dN_d(x)}{dx}\\
\Rightarrow 0=-e\mu_nN_d(x)\frac{kT}{e}\frac1{N_d(x)}\frac{dN_d(x)}{dx}+eD_n\frac{dN_d(x)}{dx}
\end{gather*}
\]
则：
\[
\frac{D_n}{\mu_n}=\frac{kT}{e}
\]
同理
\[
\frac{D_p}{\mu_p}=\frac{kT}{e}
\]
The Einstein Relation
\[
\frac{D_n}{\mu_n}=\frac{D_p}{\mu_p}=\frac{kT}{e}
\]